¿Qué pasaría si hubiera un Hotel con infinitas habitaciones?

En la sociedad en la que vivimos actualmente se le da mucho valor a los símbolos, valor que en no pocas ocasiones desconocemos lo que significan o porqué fueron creados. Así pues el símbolo de infinito, lo vemos expresado multitud de veces en la sociedad actual pero poca gente es capaz de explicar el termino o concepto de infinito. Para intentar arrojar algo de luz sobre este asunto vamos a explicar dos paradojas sobre el infinito para intentar comprender mejor este concepto.

Antes de empezar una de las cosas que tenemos que tener en cuenta es que el infinito no es un número en sí mismo, sino que es un concepto que se refiere a algo que no tiene finitud o que no tiene fin. Aunque en matemáticas trabajamos a menudo con el infinito como número, esta aproximación que hacemos no es correcta y lo que hacemos es utilizar con el concepto de límite, que se refiere al valor aproximado que va a tomar un número que se acerca infinitesimalmente a otro número. Pero vayamos al grano.

Paradoja del hotel infinito

Imaginemos que un promotor inmobiliario sin escrúpulos y un magnate hotelero cortados con el mismo patrón deciden hacerse ricos construyendo un hotel con habitaciones infinitas, y para darle más bombo y platillos a su operación deciden utilizar un eslogan muy atrayente “El hotel en el que siempre hay una habitación para usted”.

Después de muchas elucubraciones urbanísticas, arquitectónicas,  técnicas y demás consiguen acabar con el hotel infinito, su inauguración es espectacular, en la que un número infinito de huéspedes deciden alojarse en el hotel para probar la capacidad mencionada de dicho hotel. La recepcionista con una paciencia infinita, valga la redundancia, consigue acomodar a todos los huéspedes en su correspondiente habitación probando que la capacidad del hotel es buena.

Sin embargo a la mañana siguiente llega al hotel un huésped más, la recepcionista que ya había previsto esta contingencia decide mover a todos los huéspedes a la siguiente habitación, de tal manera que el huésped de la habitación 5 se mueve a la 6 el de la n a la n+1 y el de la habitación 1 a la 2, dejando la primera habitación libre y pudiendo acomodarle fácilmente. Lo mismo ocurre si al acabo de la mañana llegan 80 nuevos huéspedes al hotel, alojando al huésped 1 en la 81 al huésped 57 en la 137 y al huésped n en la habitación n+80.

A estas horas de la mañana es cuando todos los huéspedes del hotel empiezan a quejarse, porque las habitaciones están sucias y es que aunque hay un empleado de la limpieza trabajando todos los días de la semana y las 24 horas del día, sucede que al repartir un tiempo finito entre un número infinito de habitaciones, el tiempo de limpieza en cada habitación es cero, por lo que aunque el pobre hombre de la limpieza trabaje todo el día, no es capaz de tener el hotel presentable.

Ajena a todos estos problemas estaba la recepcionista que no se enteró de las quejas, las infinitas llamadas a la recepción había colapsado el servicio. Sin embargo mientras tanto un autobús con infinitos pasajeros llegó al hotel y pidió hospedarse en el hotel. La recepcionista, llamo a todas las habitaciones y les pidió que multiplicaran el número de su habitación por dos, de tal manera que el huésped de la habitación 4 se movió a la 8 el de la 31 a la 62 y el de la habitación n a la 2n. Esto a parte de originar cierto trasiego dentro del hotel, hizo que se ocuparan todas las habitaciones pares y quedaran libres las impares. Como existen infinitos números pares e infinitos números impares todos quedaron satisfechos con su nuevo alojamiento, sin embargo… ¿El hotel estará cera de llenarse?

En otro lado de la historia, el promotor y el magnate hotelero se frotaban las manos con el éxito que estaba teniendo el hotel pensando que con infinitos huéspedes, los ingresos se volverían infinitos ya que cualquier precio de habitación, por muy bajo que fuera, multiplicado por infinito, les daría infinitos ingresos, lo que haría que se volvieran infinitamente ricos. Cuando se disponían a abrir una botella de champán para celebrar su éxito, el contable llegó jadeando al despacho, advirtiendo que tener  infinitas habitaciones implicaba tener infinitos gastos derivados.

Los dueños del hotel se quedaron perplejos ya que no sabían que pensar, y tenían razón infinitos ingresos menos infinitos gastos puede dar soluciones muy diversas, por lo tanto ambos podían estar arruinados, ser infinitamente ricos o cualquier posición intermedia entre ambos extremos lo cual resultaba para ambos dueños bastante desconcertante.

A todo esto a nuestro hotel infinito, llegan infinitos autobuses con infinitos huéspedes en cada autobús, y la recepcionista se saca un as bajo la manga que tenía guardado para esta ocasión. En primer lugar hace que todos los huéspedes multipliquen el número de su habitación por dos, para que todas las habitaciones impares queden libres.

Luego coge todos los números primos excepto el dos y asigna cada número primo a cada autobús. Como hay infinitos números primos pueden repartirse entre los infinitos autobuses y dentro de cada autobús a cada huésped se le da un número también. Se le dice a cada persona de cada autobús que tiene que elevar el número de su autobús al número que le han dado y ese será el número de su habitación. El resultado, para cada uno de los infinitos huéspedes de los infinitos autobuses es un número impar, que en ningún caso es igual a ningún número de cualquiera de los otros autobuses solucionando el problema.

El hotel parece lleno, sin embargo, el disponer de infinitas habitaciones parece dotar a este peculiar hotel de una rara habilidad y es estar lleno y vacío a la vez. Este hecho emana de la propiedad que tiene el infinito y que resulta de no ser un número, lo que hace que aunque el infinitos hallan, infinitos quedan por tanto el hotel se encuentra vacío y lleno a la vez.

“De infinito, aunque infinitos se añadan o infinitos se quiten, infinitos quedan”

Esta paradoja del hotel infinito fue construida por el Matemático Alemán David Hilbert, que fue uno de los más importantes en su campo durante el siglo XX, trabajando de manera incansable con la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor, dándole mayor significación a la idea que tenemos del infinito.

Paradoja de Aquiles y la tortuga

Antes de la Guerra de Troya, Aquiles decidiendo mostrar más valor y coraje que cualquiera, retó a quien estuviera dispuesto a retarle con cualquier tipo de prueba física, asegurando que él era mejor que cualquier mortal y que saldría indemne de ella. La mayoría, temerosos de retar al mismísimo Aquiles, se abstuvieron de intentarlo, por lo que el reto quedó en el olvido admitiendo de facto que Aquiles era el mejor mortal sobre la faz de la Tierra.

A los pocos meses llego a Egina (ciudad natal de Aquiles), Zenón de Elea, discípulo de Parménides, que le propuso a Aquiles la siguiente prueba atlética. La prueba consistiría en una carrera entre Aquiles y una tortuga con la única condición de que Aquiles le dejara una cierta ventaja a la tortuga, sin necesidad de especificar cuál.

Zenón sostenía que para que Aquiles alcanzara a la tortuga, primero tenía que recorrer la distancia hasta donde una primera vez se hubiera encontrado la tortuga, pero ésta se habría desplazado en ese intervalo de tiempo. Aquiles no cejaría en su empeño y volvería a desplazarse hasta encontrarse donde momentos antes había estado la tortuga pero percatándose que la tortuga había vuelto a desplazarse. Este proceso se repetiría hasta el infinito, y ocurriría que Aquiles nunca alcanzaría a la tortuga.

Aunque el planteamiento de Zenón era convincente y tardó casi dos mil años en resolverse de una manera correcta, sería James Gregory quien a mediados del siglo XVII demostraría finalmente que Aquiles sí que podría ser capaz de alcanzar a la tortuga aplicando cálculos infinitesimales. Resulta que a medida que los fragmentos se van haciendo infinitamente pequeños, (recordemos que la tortuga es bastante más lenta que Aquiles) el tiempo que tarda Aquiles en recorrerlos es infinitamente pequeño, por lo que tenderá a cero en algún momento, haciendo que Aquiles fuera capaz de alcanzarla.

Una paradoja similar es la que sostiene que Aquiles no sería capaz de acabar una maratón ya que para acabarla primero debería recorrer la mitad del recorrido y para acabar la mitad que le queda, antes debe recorrer la otra mitad (ósea un cuarto) y una vez que la ha completado esa mitad otra mitad (un octavo) y así sucesivamente. Obviamente, Aquiles sería capaz de acabar esa carrera, y la explicación sería la misma, que cuando los intervalos tendieran a infinito, esos trayectos serían infinitamente más cortos y por tanto se tardará infinitamente menos tiempo.